Mecánica del Cuerpo Rígido

La mecánica del cuerpo rígido engloba conceptos de estática y dinámica. La parte dinámica consta de un análisis cinemático y un análisis cinético (o dinámico).

Durante el análisis de la marcha humana, nos enfocaremos en la parte de dinámica.

graph TD
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  AM("`Applied Mechanics`"):::h1 --> RBM["`Rigid Body Mechanics`"]:::h2
	AM --> DBM("`Deformable Body Mechanics`"):::h2
	AM --> FM("`Fluid Mechanics`"):::h2
	
		RBM --> Statics:::h3
		RBM --> Dynamics("`**Dynamics**`"):::h3
	
		DBM --> Elasticity:::h3
		DBM --> Plascticity:::h3
		DBM --> Viscoelasticity:::h3
	
		FM --> Liquids:::h3
		FM --> Gases:::h3
	
		subgraph " "
			Dynamics --> Kinematics:::h4
			Dynamics --> Kinetics:::h4
		end

Consideraciones iniciales

Inicialmente, se plantean dos sistemas de referencia:

$x, y,z$ fijo en el espacio.
$x',y',z'$, solidario al sólido observado.

Se considera que no existe desplazamiento relativo de los puntos del cuerpo en el sistema propio, por lo que, para el i-ésimo punto, su velocidad se define como:

$$ \vec{v}i=\vec{v}{o'}+\vec{\Omega}\times\vec{r}_{i'} $$

Donde $\vec v_i$ es la velocidad de la i-ésima partícula respecto del sistema de referencia no propio $o$; $\vec v_{o'}$ es la velocidad del punto $o'$ con respecto de $o$; $\vec{\Omega}$ es el vector de rotación, que tiene velocidades angulares en las tres dimensiones; y $\vec r_{i'}$ es la posición de la i-ésisma partícula en el sistema de referencia propio $o'$.

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Esta condición es la que define a todo cuerpo rígido.

Cálculo de la cantidad de movimiento

Es importante conocer la cantidad de movimiento de un cuerpo rígido para poder estudiarlo. Para calcular esta magnitud, además de las hipótesis básicas del cuerpo rígido, suponemos que la masa es constante durante el periodo de tiempo en el que se analiza el movimiento.

Para un sistema de partículas:

$$ \begin{aligned} \vec{p}&=\sum_i m_i\cdot\vec{v}i\\ &=\sum_i \left[m_i\cdot\vec{v}{o'}+m_i\cdot\vec{\Omega}\times\vec{r}{i'}\right]\\ &=\sum_i{m_i}\vec{v}{o'}+ \sum_i{m_i}\cdot\vec{\Omega}\times\frac{\sum_im_i\vec{r}{i'}}{\sum_im_i}\\ &=M[\vec{v}{o'}+\vec\Omega\times\vec{r}_{g}] \end{aligned} $$

Donde $M=\sum_im_i$ es la masa del cuerpo rígido y $\vec{r}g=\frac{\sum_im_i\vec{r}{i'}}{\sum_im_i}$ se define como el centro de masa o centro gravitatorio. Finalmente:

$$ \vec{p}=M\vec{v}_g $$